Définition
Soient \(I=]\alpha,\beta[\subset\Bbb R\), \(a\in I\) et \(f:I\to\Bbb R\) définie sur \(I\) sauf éventuellement en \(a\) et soit \(n\in\Bbb N\)
On dit que la fonction \(f\) a un développement limité en \(a\) à l'ordre \(n\) s'il existe une fonction \(\varepsilon(x)\) sur \(I\) et des coefficients \(c_0,c_1,\ldots,c_n\) tq $$f(x)={{\sum^n_{k=0}\left(c_k(x-a)^k\right)+(x-a)^n\epsilon(x)}}$$ pour tout \(x\in I\setminus\{a\}\) et que \(\underset{x\to a}\lim\varepsilon(x)=0\)
(
Négligeabilité - Petitot)
Toute fonction \(f\in\mathcal C^n(I,\Bbb R)\) admet un développement limité en \(a\in I\) à l'ordre \(n\) avec $${{c_k}}={{\frac{f^k(a)}{k!} }}\text{ pour }k={{0,\ldots,n}}$$
Ordre
Remarque :
Si \(f\) admet un développement limité en \(a\) à l'ordre \(n\), alors \(f\) admet un développement limité en \(a\) à tout ordre \(k\leqslant n\)
Remarque :
Si \(f\) admet un développement limité en \(a\) à l'ordre \(n\), alors soit \(f\) est définie et continue en \(a\), soit elle est prolongeable par continuité en \(a\)
(
Continuité,
Prolongement par continuité)
Calcul du développement limité
Développement limités usuels en 0
Arcsinus (Développement limité en 0)Arctangente (Développement limité en 0)Cosinus (Développement limité en 0)Fonction exponentielle (Développement limité en 0)Fonction inverse (Développement limité en 0)Fonction tangente (Développement limité en 0)Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0)Puissance (Développement limité en 0)Sinus (Développement limité en 0)
Les développements limités usuels s'obtiennent en utilisant la formule de Taylor-Young avec \(a=0\)
Les formules de DL usuels ne peuvent être utilisésqu'au voisinage de \(0\), donc il faut faire attention aux changements de variable
Combinaison linéaire
Proposition :
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions ayant un développement limité d'ordre \(n\) en \(a\in]\alpha,\beta[\) et soit \((\lambda,\mu)\in\Bbb R^2\) $${{P_n(\lambda f+\mu g,a,x)}}={{\lambda P_n(f,a,x)+\mu P_n(g,a,x)}}$$
Multiplication
Proposition :
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions ayant un développement limité d'ordre \(n\) en \(a\in]\alpha,\beta[\) et soit \((\lambda,\mu)\in\Bbb R^2\)
$${{P_n(fg,a,x)}}={{P_n(f,a,x)P_n(g,a,x)+(x-a)^{n+1}R(x)}}$$
Division
Proposition :
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions ayant un développement limité d'ordre \(n\) en \(a\in]\alpha,\beta[\) et soit \((\lambda,\mu)\in\Bbb R^2\)
$${{P_n\left(\frac fg,a,x\right)}}={{P_n(f,a,x)P_n\left(\frac1g,a,x\right)+(x-a)^{n+1}R(x)}}$$
Composition
Proposition :
Soient \(f:]\alpha,\beta[\to]\gamma,\delta[\) et \(g:]\gamma,\delta[\to\Bbb R\) des fonctions ayant un DL d'ordre \(n\) respectivement en \(a\in]\alpha,\beta[\) et \(b\in]\gamma,\delta[\) avec \(b={{f(a)}}\)
Alors la fonction composée \(g\circ f(x)\) admet un DL d'ordre \(n\) en \(a\) dont la partie polynomiale \(P_n(g\circ f,a,x)\) s'obtient en ne conservant dans la composée \(P_n(g,b,P_n(f,a,x))\) que les monômes \((x-a)^k\) de degré \(k\leqslant n\), i.e. : $${{P_n(g\circ f,a,x)}}={{P_n(g,b,P_n(f,a,x))\mod(x-a)^{n+1}\Bbb R[x]}}$$
(
Composition)
Démonstration :
Intégration
Proposition :
Si \(f\) est une fonction continue sur \(]\alpha,\beta[\) qui admet un DL d'ordre \(n\) en \(a\in]\alpha,\beta[\) , alors toute primitive \(F\) de \(f\) sur \(]\alpha,\beta[\) admet un DL d'ordre \(n+1\) en \(a\), avec $${{P_{n+1}(F,a,x)}}={{F(a)+\int^x_aP_n(f,a,t)dt}}$$
(
Primitive,
Intégrale - Intégration)
Démonstration :
Formules pour les fonctions de deux variables
Formule du développement limité à l'ordre \(2\) en \((x_0,y_0)\) pour une fonction de deux variables : $$\begin{align} {{f(x_0+h,y_0+k)}}=\,&{{f(x_0,y_0)}}\\ &+{{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}}\\ &+{{\frac12\left[ h^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0)+2hk\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)+k^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\right]}}\\ &+{{o(\lVert(h,k)\rVert^2)}}\end{align}$$
Formule du développement limité à l'ordre \(2\) pour une fonction \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^2\) : $${{f(x_0+h)}}={{f(x_0)}}+{{J_f(x_0)h}}+{{\frac12 h^T\cdot H_f(x_0)\cdot h}}+{{o(\lVert h\rVert^2)}}$$
(
Dérivée partielle,
Dérivée partielle seconde,
Matrice jacobienne - Jacobienne,
Hessienne,
Matrice transposée,
Négligeabilité - Petitot)
Fonctions particulières
Proposition :
Supposons que \(f\) admet un développement limité en \(a\) à l'ordre \(n\)- \(n\geqslant1\) \(\Rightarrow\) \(f\) est dérivable en \(a\) et \({{f(a)}}={{c_0}}\), \({{f'(a)}}={{c_1}}\)
- Les coefficients \(c_0,c_1,\ldots,c_n\) sont uniquement déterminés
- \(f\) paire \(\Rightarrow\) les coefficients \(c_{2k+1}\) sont nuls en \(a=0\)
- \(f\) impaire \(\Rightarrow\) les coefficients \(c_{2k}\) sont nuls en \(a=0\)
(
Dérivabilité,
Fonction paire,
Fonction impaire)
Démonstration :
Lien avec le gradient
Soient \(M_0=(x_0,y_0,z_0)\in\Omega\subset\Bbb R^3\) et \((h,k,l)\in\Bbb R^3\) tq \(M=(x_0+h,y_0+k,z_0+l)\in\Omega\)
Si on \(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j+l\vec k\), alors \(M=M_0+\overrightarrow{\Delta M}\)
La partie linéaire du développement limité de \(f\) à l'ordre \(1\) en \(M_0\) peut s'écrire $$\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\Delta M}$$
Et le développement linéaire à l'ordre \(1\) de \(f\) en \(M_0\) s'écrit : $$f(M)=f(M_0)+\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\Delta M}+\lVert\overrightarrow{\Delta M}\rVert\varepsilon(\overrightarrow{\Delta M})$$
(
Gradient)
Développement limité
Applications
LimiteTangente (géométrie)Courbe - Courbe paramétréeSérie convergente,
Intégrale impropre - Intégrale généralisée
Branches infinies
L'étude de branches infinies peut se faire via le DL avec le changement de variable \(x\mapsto t=\frac1x\)
(
Développement limité,
Changement de variable)
Exemples
Calculs de DL
Exemple :
Trouver le DL à l'ordre \(n\) en \(0\) de \(\arctan x\)
![](.\Img\Pasted image 20220317215038.png)
Trouver le DL à l'ordre \(n\) en \(0\) de \(\arcsin x\)
Etudes de branches infinies